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Módulo II - Equação Geral e Equação Reduzida da Circunferência
Tema: Geometria Analítica > Circunferência
Habilidades: Saber usar de modo sistemático sistemas de coordenadas cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações; Saber identificar as equações da circunferência na forma reduzida e geral, e conhecer suas propriedades características
1. Assista às vídeo-aulas:
2. Resumindo:
Para o estudo das circunferências, temos a Equação Reduzida e a Equação Geral, que nada mais é que a "cara" da circunferência; é o que define que determinada equação representa ou não uma circunferência.
Para termos uma circunferência, e suas equações, temos que ter: 1. coordenadas do centro, que define no plano cartesiano sua posição; 2. o raio, que define o seu tamanho. Assim, teremos suas equações:
3. Atividade
a) Obtenha as equações reduzida e geral da circunferência com o centro na coordenada O (4;5) e raio 3.
Dica:
1. Como já temos as coordenadas do centro, e o raio, basta substituirmos na forma da Equação Reduzida, onde a é a abscissa (=4) do centro; e b é a ordenada (=5) do centro;
2. Para achar a Equação Geral, devemos desenvolver a Equação Reduzida. Na equação reduzida temos dois produtos notáveis: O quadrado da diferença.
3. Neste caso, (x - a)² = x² - 2xa + a²; e (y - b)² = y² - 2yb + b². Podemos desenvolver também aplicando a propriedade distributiva: (x - a)² = (x - a).(x - a); e (y - b)² = (y - b).(y - b);
b) Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência que tem a equação:
x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0.
Dica:
1. Este tipo de exercício é o contrário do anterior: temos a equação, e devemos achar o centro e o raio;
2. Temos a equação geral da reta;
3. Uma forma de resolver é transformar a equação geral em equação reduzida pelo método completando quadrados:
4. Outra forma de resolver é pelo método da comparação. Comparando (observe a igualdade, que separa) a equação do problema com a "cara" da equação geral da circunferência, teremos:
x² + y² + 4x - 6y - 3 = x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r²
Comparando as duas equações, afirmando que são equações equivalentes (pois são equações geral de uma circunferência), podemos igualar os coeficientes parecidos:
Nota: pegamos apenas os coeficientes, que são os termos que acompanham as incógnitas (x e y)
+ 4 = -2a Pegamos os coeficientes que acompanham a variável x (com expoente 1);
- 6 = -2b Pegamos os coeficientes que acompanham a variável y (com expoente 1);
- 3 = a² + b² - r² Pegamos os termos independentes, que não tem variável.
Assim, achamos a; depois b; e depois o raio. Com isso, já que o a e b representa as coordenadas do centro, acharemos a resposta.
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Habilidades: Saber usar de modo sistemático sistemas de coordenadas cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações; Saber identificar as equações da circunferência na forma reduzida e geral, e conhecer suas propriedades características
1. Assista às vídeo-aulas:
Equação Reduzida
Equação Geral
Fonte: www.kuadro.com.br
2. Resumindo:
Para o estudo das circunferências, temos a Equação Reduzida e a Equação Geral, que nada mais é que a "cara" da circunferência; é o que define que determinada equação representa ou não uma circunferência.
Para termos uma circunferência, e suas equações, temos que ter: 1. coordenadas do centro, que define no plano cartesiano sua posição; 2. o raio, que define o seu tamanho. Assim, teremos suas equações:
Com isso, se vermos uma equação que tiver a "cara" dessas equações, então podemos afirmar que é uma circunferência, ou se temos as coordenadas de um ponto, e um raio, podemos determinar uma circunferência.
3. Atividade
a) Obtenha as equações reduzida e geral da circunferência com o centro na coordenada O (4;5) e raio 3.
Dica:
1. Como já temos as coordenadas do centro, e o raio, basta substituirmos na forma da Equação Reduzida, onde a é a abscissa (=4) do centro; e b é a ordenada (=5) do centro;
2. Para achar a Equação Geral, devemos desenvolver a Equação Reduzida. Na equação reduzida temos dois produtos notáveis: O quadrado da diferença.
3. Neste caso, (x - a)² = x² - 2xa + a²; e (y - b)² = y² - 2yb + b². Podemos desenvolver também aplicando a propriedade distributiva: (x - a)² = (x - a).(x - a); e (y - b)² = (y - b).(y - b);
b) Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência que tem a equação:
x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0.
Dica:
1. Este tipo de exercício é o contrário do anterior: temos a equação, e devemos achar o centro e o raio;
2. Temos a equação geral da reta;
3. Uma forma de resolver é transformar a equação geral em equação reduzida pelo método completando quadrados:
Completando Quadrados
Fonte: www.kuadro.com.br
4. Outra forma de resolver é pelo método da comparação. Comparando (observe a igualdade, que separa) a equação do problema com a "cara" da equação geral da circunferência, teremos:
x² + y² + 4x - 6y - 3 = x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r²
Comparando as duas equações, afirmando que são equações equivalentes (pois são equações geral de uma circunferência), podemos igualar os coeficientes parecidos:
Nota: pegamos apenas os coeficientes, que são os termos que acompanham as incógnitas (x e y)
+ 4 = -2a Pegamos os coeficientes que acompanham a variável x (com expoente 1);
- 6 = -2b Pegamos os coeficientes que acompanham a variável y (com expoente 1);
- 3 = a² + b² - r² Pegamos os termos independentes, que não tem variável.
Assim, achamos a; depois b; e depois o raio. Com isso, já que o a e b representa as coordenadas do centro, acharemos a resposta.
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