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Módulo III - Circunferência em diferentes contextos
Tema: Geometria Analítica > Circunferência
Habilidades: Saber usar de modo sistemático sistemas de coordenadas cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações; Saber identificar as equações da circunferência na forma reduzida e geral, e conhecer suas propriedades características
1. Vamos determinar a equação geral da circunferência com centro em O (1,2) que passa pelo ponto P (4,-2).
Para determinarmos a equação geral de uma circunferência, precisamos da coordenada do centro e do raio. O problema nos deu o centro: O (1,2). Falta acharmos o raio.
O problema nos deu outra informação: passa pelo ponto P (4,-2). Se a circunferência passa por esse ponto, então a distância do centro O até o ponto P nos dá o raio:
*ATIVIDADE 1: Tendo a equação reduzida acima, ache a Equação Geral
2. Qual a área do círculo limitado pela circunferência de equação:
x² + y² + 2x - 4y - 31 = 0. Considere π = 3,14.
Para calcular a área do círculo, precisamos achar o raio.
Resolvendo pelo método da comparação, temos:
x² + y² + 2x - 4y - 31 = x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r²
+ 2 = - 2a --- a = -1
- 4 = - 2b --- b = 2
- 31 = + a² + b² - r² --- r = 6
Neste caso não pediu as equações geral ou reduzida. Porém é possível determiná-las, já que agora tenho as coordenadas do centro (-1,2) e o raio = 6. Neste problema pede a área da circunferência.
Desta forma precisamos saber que a área de uma circunferência é A = πr². Assim:
A = 3,14.6²
A = 3,14.36
A = 113,04 u.a. (unidades de área).
*ATIVIDADE 2: Dada a equação x² + y² + 8x -2y + 11 = 0, determine o comprimento da circunferência. Considere π = 3,14. Dica: o comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula C = 2.π.r
*ATIVIDADE 3: Dada a equação x² + (y - 2)² = 9, determine a área da circunferência.
Considere π = 3,14.
Nota:
1. Quando não temos o termo a ou b, significa que o a ou b é zero, e portanto tem abscissa ou ordenada no próprio eixo.
2. Se o a e b for zero, significa que a circunferência tem centro na origem do Plano Cartesiano.
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Habilidades: Saber usar de modo sistemático sistemas de coordenadas cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações; Saber identificar as equações da circunferência na forma reduzida e geral, e conhecer suas propriedades características
1. Vamos determinar a equação geral da circunferência com centro em O (1,2) que passa pelo ponto P (4,-2).
Para determinarmos a equação geral de uma circunferência, precisamos da coordenada do centro e do raio. O problema nos deu o centro: O (1,2). Falta acharmos o raio.
O problema nos deu outra informação: passa pelo ponto P (4,-2). Se a circunferência passa por esse ponto, então a distância do centro O até o ponto P nos dá o raio:
Assim, vamos achar a distância de O a P:
OP² = (4-1)² + (-2-2)²
OP² = 3² + (-4)²
OP² = 9 + 16
OP² = 25 --- OP = √25 --- OP = 5. Ou seja, r = 5, ou ainda, r² = 25.
Agora, se temos o centro, e o raio, podemos achar a equação reduzida:
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 1)² + (y - 2)² = 25
*ATIVIDADE 1: Tendo a equação reduzida acima, ache a Equação Geral
2. Qual a área do círculo limitado pela circunferência de equação:
x² + y² + 2x - 4y - 31 = 0. Considere π = 3,14.
Para calcular a área do círculo, precisamos achar o raio.
Resolvendo pelo método da comparação, temos:
x² + y² + 2x - 4y - 31 = x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r²
+ 2 = - 2a --- a = -1
- 4 = - 2b --- b = 2
- 31 = + a² + b² - r² --- r = 6
Neste caso não pediu as equações geral ou reduzida. Porém é possível determiná-las, já que agora tenho as coordenadas do centro (-1,2) e o raio = 6. Neste problema pede a área da circunferência.
Desta forma precisamos saber que a área de uma circunferência é A = πr². Assim:
A = 3,14.6²
A = 3,14.36
A = 113,04 u.a. (unidades de área).
*ATIVIDADE 2: Dada a equação x² + y² + 8x -2y + 11 = 0, determine o comprimento da circunferência. Considere π = 3,14. Dica: o comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula C = 2.π.r
*ATIVIDADE 3: Dada a equação x² + (y - 2)² = 9, determine a área da circunferência.
Considere π = 3,14.
Nota:
1. Quando não temos o termo a ou b, significa que o a ou b é zero, e portanto tem abscissa ou ordenada no próprio eixo.
2. Se o a e b for zero, significa que a circunferência tem centro na origem do Plano Cartesiano.
3. (UESC-BA) Sejam os pontos do plano cartesiano A(3,2) e B(1,1), e a circunferência que passa por A e B, cujo centro é o ponto médio do segmento AB. Determine a equação reduzida da circunferência.
Neste problema, não temos o raio nem o centro da circunferência. Porém nos deu dois pontos, com uma condição: o ponto médio entre esses pontos é o centro da circunferência.
Então para achar as coordenadas do centro (a e b), podemos fazer a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B; e a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B. Veja:
Temos então aqui o centro da circunferência: O(2;3/2).
Agora que temos o centro da circunferência, a distância entre o centro e os pontos A ou B nos dá o raio. Assim:
*ATIVIDADE 4: Tendo as coordenadas do centro e o raio acima, ache a Equação Reduzida.
*ATIVIDADE 5: Dados os pontos A(-5,2) e B(1,4), escreva Equação Reduzida da circunferência de diâmetro AB.
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